title

ГлавнаяСтатьиДинамическая модель закрытого общества (институциональные ловушки и кризисы)

Динамическая модель закрытого общества (институциональные ловушки и кризисы)


Раздел:

Экономика


Опубликовано: 29.05.2015

Данная работа выполнена в рамках проекта РФФИ №15-01-07944-а «Разработка алгоритмов и
математических моделей для анализа и прогноза процессов развития и
самоорганизации в социально-экономических системах».

1. Введение

Вопрос о самоорганизации рыночной экономики в самодостаточной (то есть обеспеченной собственными ресурсами) стране является сейчас одним из актуальных в макроэкономике. Это вопрос – часть более общей проблемы, касающейся взаимодействия нескольких стран с различной экономикой. Он обсуждался многократно в работах классиков [1], с ним cвязаны направления макроэкономической теории: монетаристское [2], кейнсианское [3], концепция Ларуша [4].

Полная экономическая изоляция любой страны в современных условиях невозможна. Однако, место страны в мировой экономике может быть различно: от сырьевого придатка до развитой страны, диктующей свои условия партнерам. Для достижения этой цели необходимо знать динамику вхождения в мировой рынок и оценить оптимальную степень экономической открытости на каждом этапе; слишком поспешное вхождение в него может привести к плачевному результату.

Общество – сложная динамическая система. Результаты его эволюции зависят от многих составляющих, среди которых важную роль играет то, каковы условия функционирования экономических субъектов: свободный ли это рынок или рынок с элементами государственного регулирования, авторитарная это система или какая-то их смесь. Но даже если конкретные условия (тип экономики) заданы и, скажем, одинаковы у двух стран, конечные результаты их развития могут оказаться прямо противоположными. Решающая роль в определении результата эволюции, при прочих равных условиях, принадлежит уровню экономического развития общества. Косвенным подтверждение этого может служить наличие множества различных моделей, призванных описать поведение общества, и дающих прямо противоположные друг другу результаты. На самом деле между этими моделями нет противоречия, просто они описывают поведение одной и той же сложной системы (рыночная экономика) в разных состояниях и делают это без учета динамического поведения общества и его структуры.

Для решения данной проблемы необходимо опираться на математическую модель динамики процесса. Такой подход развивался за рубежом [5], но затем интерес к нему ослабел. Сейчас он активно развивается в России и представлен в монографиях [6, 7].

Данное исследование предполагает построение математической модели эволюции общества, включающей процессы его взаимодействия с «окружающей средой» (мировой рынок) и воспроизводящей кризисные явления в случае неблагоприятного развития. Исследование предполагается разбить на два этапа:

I) Построение модели автономной экономики страны с достаточными ресурсами (сырьевыми и трудовыми) – так называемое закрытое общество.

II) Построение модели, учитывающей экономические связи как с более развитыми, так и с менее развитыми странами.

Во всех моделях необходимым элементом должно быть описание не только стационарных состояний, но и переходных процессов, которые сейчас являются наиболее актуальными, поскольку именно с ними связано поведение государств, испытывающих кризис.

В предлагаемом сообщении мы обсудим только первый этап сформулированной выше программы. Мы обратим внимание на два обстоятельства, которые, как нам кажется, могут играть важную роль в формировании кризисных процессов.

Во-первых, в большинстве современных экономических моделей, претендующих на количественное описание, явно или неявно предполагается существование единственного устойчивого равновесного состояния, при отклонении от которого, общество возвращается к нему под влиянием рыночных процессов или регулирования. При этом не учитывается тот факт, что в реальном рыночном обществе могут существовать несколько равновесных состояний с различными экономическими показателями. Среди них могут быть и неблагополучные. Последние получили название «институциональные ловушки» [8]. Отметим, что классики экономики хорошо понимали это обстоятельство, хотя и не могли описать его на математическом языке [9], однако затем оно было забыто, интерес к нему появился лишь в последнее время. Выведение общества из одного состояния устойчивого равновесия может перевести его в такую область, откуда оно будет стремиться к другому равновесному состоянию. Более того даже плавное изменение макроэкономических показателей общества может приводить к тому, что прежнее равновесное состояние исчезнет и тогда общество заведомо будет стремиться к другой точке равновесия, находящейся может быть очень далеко от предыдущей. В обоих случаях такие, внешне кажущиеся неожиданными, процессы воспринимались бы как кризис или «экономическое чудо».

Во-вторых, как показано в целом ряде работ [10], на динамическое поведение общества существенное влияние оказывает экономическая структура общества (ЭСО). Под ЭСО мы понимаем распределение элементов общества (семей) по ликвидным накоплениям. Она играет важную роль в балансе спроса и предложения на товары, услуги, финансы и т. д. Соотношение спроса и предложения зависит от покупательной способности накоплений элементов общества, а оно по этому показателю в значительной степени неоднородно и должно описываться распределением. В традиционных макроэкономических моделях на количественном уровне как правило рассматривается только одна группа потребителей и одна группа производителей, формирующих спрос и предложение. Пересечение соответствующих кривых, например, в координатах цена-объем, определяет значение равновесной величины макроэкономического показателя. Такой подход фактически означает замену рассмотрения распределенных величин спроса и предложения на рассмотрение соответствующих средних. Эта замена с математической точки зрения правомерна для распределений близких к нормальному и вблизи положения равновесия. Если система находится вдали от точки равновесия или распределение существенно отличается от нормального, например, является двугорбым как в современной России, ограничение рассмотрения только анализом средних величин может привести к неверным значениям макроэкономических показателей, отличающимся на порядки величин от действительных, а динамика поведения реального общества может качественно отличаться от модельного.

Два приведенных выше замечания особенно важны для обществ, находящихся в состоянии кризиса и/или реформирования, поскольку именно в эти периоды макроэкономические показатели претерпевают значительные изменения, а имущественное расслоение общества увеличивается. Примером такого общества является, в частности, Россия.

В настоящей работе мы рассмотрим нелинейную динамическую модель, учитывающую ЭСО, которая, как уже говорилось, существенно влияет на динамическое поведение общества: объем производства и потребления товаров, уровень цен и т. д. До сих пор были рассмотрены только незамкнутые варианты модели, в которых не учитывалось влияние производства и товарооборота на ЭСО [10]. В данной работе мы рассмотрим простейшую модель, в которой только через механизм взаимодействия спроса и предложения учитывается как прямая так и обратная связь процессов производства-потребления и ЭСО. Такая модель позволяет ответить на следующие вопросы:

1) Существует ли стационарное состояние общества, если существует, то единственно ли оно, и при каких условиях устойчиво.

2) Какова стационарная структура общества (унимодальна или бимодальна), как она зависит от продуктивности и как последняя зависит от нее.

В данной работе мы рассмотрим вариант закрытого общества, в котором экспорт и импорт товара отсутствует.

2. Основные положения модели.

1) Рассматривается производство и потребление одного продукта (так называемое однопродуктовое приближение). Его можно рассматривать как стандартную совокупность товаров, в которой коэффициенты предпочтения зафиксированы и одинаковы для всех слоев общества. Отметим, что в ситуации, когда ЭСО стабильна, это заведомо не соблюдается. Однако этот эффект мы пока учитывать не будем.

При этом в процессе обмена деньги фактически жестко связаны с продуктом, поэтому экономические показатели такие как прибыль, объем производства и потребления и т. п. можно исчислять как в денежных, так и в натуральных (штуках, килограммах и т. д.) единицах. Действительно, деньги, как универсальный товар, играют особую роль только, если число различных товаров велико. В этом случае прямой обмен приводит к проблеме факториальной сложности, для преодоления которой, собственно, и были введены деньги. В процессе же потребления роль денег и товаров различается т. к. потребление товаров приводит, а потребление денег не приводит, к их выбыванию из обращения.

Цену продукта в дальнейшем будем обозначать р.

2) Рассматривается общество, состоящее из двух групп

I. Производители (работники), число которых обозначим n'), работающие на предприятиях собственников. В их число мы включим не только непосредственных производителей, но также обслуживающий персонал и служащих, занятых в инфраструктуре, охране и поддержании стабильности всего общества. Все они объеденены тем, что их доход – зарплата Pn, отличная от доходов второй группы.

II. Организаторы (они же «собственники» или «владельцы»), число которых обозначим m', получающие доход от продажи произведенного на их предприятиях товара и выплачивающие зарплату Pn членам первой группы. Доходы «собственников» обозначим Pm. В их число включены также «посредники» и торговцы, живущие за счет прибыли, но не зарплаты.

Накопления семей первой и второй групп обозначим Un' и Um', соответственно.

Доходы и накопления членов разных групп различны, но внутри каждой группы будем считать их одинаковыми.

В такой модели ЭСО представляется в виде двух узких пиков (горбов). Реально горбы размыты и если расстояние между ними больше их ширины, то ЭСО бимодально. Если горбы близки, то общество практически унимодально.

В модели структура общества зависит от двух параметров: относительной численности σ=n/m и отношения доходов D=Pm/Pn (или накоплений Um/Un). Последнее отражает относительное расстояние между горбами то есть модальность общества.

3) Примем, что необходимые для производства ресурсы (полезные ископаемые, посевные площади и т. п.) находятся в избытке. При этом можно считать, что «безработные» в обществе отсутствуют. Действительно, при наличии таковых всегда можно образовать «колонию» на резервных площадях и там организовать производство, аналогичное таковому в метрополии.

Отсюда следует, что рынок труда в модели фактически отсутствует. При этом численности n' и m' определяются не балансом на рынке труда, а экономической целесообразностью, зависящей от уровня технологии производства и его организации. Далее это отношение будем считать заданным.

4) Будем считать, что объем денег в обществе равен М, а количество семей равно N, причем числа M и N фиксированы. Т. о. справедливы «законы сохранения» людей (n' + m' = N) и денег (n'Un + m'Um = М). Далее удобно использовать относительные численности: n = n'/N и m = m'/N, и относительные накопления (покупательные способности накоплений): rn = Un/p и rm = Um/p. Тогда законы сохранения можно представить в виде:

001

где 002 – средние накопления и 003 – относительные средние накопления.

5) В дальнейшем важную роль будет играть функция производства 004, то есть количество продукта (в естественных единицах, например, в штуках), производимое в обществе в единицу времени. Оно зависит от числа производителей Nn и от капиталовложений S. В нашей модели функция производства обладает следующими свойствами:

I) Она пропорциональна числу производителей, то есть

005

Здесь F(S) – удельная производительность труда, т. е. выработка, приходящаяся на одного работника в единицу времени.

II) Капиталовложения (производственные затраты) зависят от накоплений в обществе. В первую очередь их делают «владельцы» и их объем зависит от накоплений rm Накопления «служащих» также могут быть использованы для инвестиций через банковскую систему. В этом случае доходы последних, помимо зарплаты, включают проценты по вкладу. Однако, в данной работе мы не будем учитывать эту взаимосвязь, то есть примем, что банковская система и рынок денег отсутствуют. * Далее будем инвестиции исчислять в реальных единицах и считать, что они зависят от реальных накоплений rm. С ростом накоплений вложения увеличиваются. Примем в первом приближении, что вложения пропорциональны накоплениям.

В однопродуктовой модели все затраты владельцев в конце концов идут на зарплату «рабочих». К ним относятся непосредственные участники производства, ремонтные рабочие, а также все рабочие и служащие бюджетной сферы (транспорт, правоохранительные органы и т. д.). Далее будем считать, что их зарплата одинакова и соотношения их численностей заданы.

III) Производительность труда растет с ростом затрат, но не может быть больше некоторой величины Fmax, определяемой уровнем техники. Примем, что производственная функция имеет кусочно-линейный характер

006

Здесь rcr = Fmax/g – величина накоплений, выше которой прямые вложения в производство не приводят к росту выпуска товара.

IV) Капиталовложения S в нашей модели пропорциональны объему производства S = n∙s = n/b∙F. Здесь s – капиталовложения (в штуках товара), приходящиеся на одного работника в единицу времени. Коэффициент b>1 отражает уровень рентабельности, равный (b-1)∙100 %.

6) Функцию потребления продукта обозначим Q(p,U). Здесь U – накопления семьи, а Q – количество продукта, приобретаемого за цену p при накоплениях U в единицу времени. В силу масштабной инвариантности функция Q(p,U) зависит от отношения r=U/p, т. е. от покупательной способности накоплений.

В нашей модели функция потребления Q(r) зависит от трех параметров, качественно характеризующих ее поведение. Она ограничена сверху максимальными потребностями в продукте в единицу времени: Q(r) < Q0. Другой важный параметр – положение точки перегиба. По смыслу этот параметр задает отношение накоплений к цене, при котором люди начинают активно приобретать товар. Третий параметр – ширина переходной области, где люди приобретают товар, но не могут удовлетворить свои потребности в нем полностью. Мы представим Q(r) в форме

007

Положение точки перегиба определяется параметром r0, а ширина переходной области зависит от параметра ν.

При ν = 1 функция Q(r) всюду выпукла, что характерно для товаров первой необходимости. При ν ≥ 2 функция потребления имеет сигмоидную форму, что характерно для промышленных товаров долговременного пользования. При ν >> 1 ширина переходной области стремится к нулю и функция приобретает пороговый характер. В расчетах, приведенных в данной работе, мы приняли ν = 2.

Кроме основной зависимости, описываемой формулой (4) мы учтем наличие товаров различного качества и возникающее по этой причине возрастание потребностей при росте накоплений, введя дополнительный член ε∙r. Таким образом

008

7) Зарплата Pn в натуральных единицах, которую производители получают от «владельцев» в единицу времени, зависит от капиталовложений. В силу сохранения общего объема денег, ее величина равна капиталовложениям. Таким образом Pn = s:

009

Здесь нами введен параметр h = g/b, который показывает долю накоплений собственников, выделяемую в виде капиталовложений Sv при rm < rcr на одного работника в единицу времени. Зарплата в денежном выражении равна Pnp.

3. Формулировка модели.

Динамику общества мы будем описывать зависящими от времени переменными. В качестве таковых мы используем:

1) Накопления «служащих» Un.

2) Количество продуктов, хранящихся на складах. Эту величину мы обозначим R.

3) Цену товара p.

Динамика накоплений Un определяется балансом доходов и расходов членов первой группы:

010

Величина Um не является независимой переменной и определяется из закона сохранения денег (1):

011

Здесь уместно сделать замечание. Динамика доходов и расходов в натуральных единицах определяется уравнением, отличным от уравнения (6), и имеет вид

012

откуда получаем

013

Последнее слагаемое правой части соответствует индексации зарплаты при ценовой инфляции, но без дополнительной эмиссии денег (величину М мы полагаем постоянной). Мы будем считать, что владельцы без принуждения такой индексации не проводят.

Другая независимая переменная – запасы продукта R. Динамика запасов определяется балансом поступлений продуктов на склад и реализацией их на рынке [5]:

014

Здесь 015 – количество продуктов, поступающих на рынок в единицу времени; γ – безразмерный коэффициент, характеризующий быстроту отслеживания складом ситуации на рынке.

Третьей независимой переменной является цена p. Динамика цены определяется балансом спроса и предложения:

016

Здесь 017 – дисбаланс предложения и спроса. Величина N∙[nQ(rn) + mQ(rm)] представляет собой платежеспособный спрос и 018 – объем предложения. Обе величины выражены в естественных единицах товара, потребляемого или предлагаемого в единицу времени, которая соответствует времени потребления (или амортизации) товара τq. Обычно таковым считается год, что в случае производства сельхозпродукции оправдано. Изменение цены в единицу времени выражается в рублях за единицу товара и за характерное время установления рыночного равновесия τp. Последняя заметно меньше времени цикла потребления.

Коэффициент α содержит отношение времен τpq и имеет размерность (единица товара)-2∙руб. Его можно представить как комбинацию величин:

019

Здесь p0 – эффективная цена, Q0 потребление в единицу времени, α' – безразмерный параметр порядка единицы.

Сделаем несколько замечаний.

I) В (10) принято, что динамика цен пропорциональна дисбалансу спроса и предложения. В действительности зависимость может быть более сложной, но она должна быть нечетной по дисбалансу так, чтобы знак дисбаланса совпадал со знаком производной. В (10) выбран один из простейших вариантов.

II) В (10) дисбаланс выражен в естественных единицах. Возможен вариант, когда цены реагируют на дисбаланс в денежном выражении, Тогда (10) примет вид

020

В обоих случаях стационарные состояния соответствуют условию dis=0 и топологическая структура решений модели будет одна и та же, но динамика стремления к стационарному состоянию будет несколько различаться. В данной работе мы ограничимся моделью (10).

Далее будем считать, что ситуация на рынке отслеживается складом достаточно быстро (т. е. γ >> 1). Тогда переменная R быстро приходит к своему стационарному значению и на основе теоремы Тихонова уравнение (9) можно заменить соотношением 021. В этом приближении конкретный вид функции 015 уже не важен. Уравнение (10) при этом примет вид

022

Обсудим смысл уравнений (6) и (11).

Уравнение (6) показывает, что спрос производителей удовлетворяется в соответствии с их запросами nQ(rn). В уравнении (7) с другой стороны видно, что и запросы собственников удовлетворяются полностью в соответствии с их накоплениями. Таким образом в нашей модели платежеспособный спрос потребителей на товары всегда удовлетворяется.

В рассматриваемом варианте модели производственная функция при малых накоплениях собственников пропорциональна rm. Это означает, что собственники выделяют средства на производство при любой (даже самой малой) величине накоплений. Более последовательной была бы модель, в которой выделение средств на производство происходит только при rm > rcr > 0. При rm < rcr в этой модели могло бы происходить уменьшение расходов за счет их полного прекращения.

Связь уравнения (9) с другими моделями установления цены (основанными на принципе максимума прибыли) мы обсудим ниже.

Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести безразмерные переменные:

023

Здесь 024. (Далее штрихи опустим, то есть будем считать, что r0 = 1 и Q0 = 1).

Величины rnи rmсогласно (1), (7) и (12) зависят от х и у:

025

Уравнения (6) и (10) в переменных х и у принимают вид:

026

027

Рассмотрим сперва стационарные состояния в которых dx/dt=0, (dUn/dt=0) и dy/dt=0; (dp/dt=0). Это удобнее сделать в переменных rn и rm. При rm <rcr, согласно (7) и (12): h∙rm =Q(rn) и nQ(rn) + mQ(rm) = ngrm откуда следует, что стационарные значения переменной rm удовлетворяют уравнению n(g-h) rm = mQ(rm) или

Q(rm) = qrm      (16)

где q = n/m(g-h).

Решениями уравнения (16) являются точки пересечения функции Q(rm) и прямой линии qrm. Эти точки приведены на рисунке 1, где обозначены как rm,1 и rm,2, соответственно. Отметим, что состояние rm,1 устойчиво, а состояние rm,2 – неустойчиво. Значение q = 0,5 в (16) является бифуркационным: при этом значении q прямая qrm касается кривой Q(rm).

При rm > rcr условие стационарности приводит к уравнению (17):

Q(rm) = n/m∙Fmax(1-b-1)      (17)

Это уравнение дает третью точку пересечения, обозначенную на рисунке 1 как rm,3.

Наконец, точке rm =0 тоже соответствует стационарное состояние, в котором отсутствуют как производство, так и потребление товара; иными словами, это состояние – глубокий кризис общества. К счастью, оно неустойчиво.

В зависимости от значений параметров (точнее, от их комбинаций) возможны следующие варианты, представленные на рисунке 1.

I. При 0 < n/m(g-h) < 0,5 существует устойчивое состояние типа rm,1, при котором потребности удовлетворены далеко не полностью.

II. При n/m(g-h)rcr > Q(rcr) существует устойчивое состояние типа rm,3, при котором потребности владельцев удовлетворены практически полностью. Знак равенства в этом выражении соответствует точке бифуркации. При этом точка пересечения прямых в правых частях выражений (16) и (17) лежит на кривой Q(rm). Так как величина rcr обычно достаточно велика, Q(rcr) в вышеприведенном неравенстве можно приближенно заменить на 1. Тогда условие существования устойчивого состояния типа rm,3 запишется в виде n/m(g-h) > 1/rcr.

III. При выполнении обоих неравенств: 0,5 > n/m(g-h) > 1/rcr, существуют устойчивые состояния обоих типов.

Таким образом в системе уравнений (14), (15) возможны бифуркации (внезапное исчезновение одного из устойчивых состояний) двух типов и два бифуркационных параметра: Fmax и q =  n/m(g-h).

4. Физический смысл параметров

Модель содержит параметры разных типов. Параметры, входящие в функцию спроса Q(r) (то есть Q0, r0, и ν), определяются физическими потребностями, обычаями, сложившимися в обществе и другими факторами, неподвласными воле «владельцев». Производительность труда F(rm) содержит параметры g и Fmax, которые определяются уровнем техники и организации производства. Точнее, производительность труда зависит не только от капиталовложений (hrm), но и от соотношения числа производителей n и владельцев m (организация производства). Избыток (или недостаток) как тех так и других вредит производству. Это значит, что функция F(grm,σ) имеет максимум при оптимальном отношении σ = n/m. Мы будем полагать, что в рассматриваемом обществе этот оптимум достигнут и, следовательно, параметр σ постоянен. Его конкретное значение может быть различным в разных обществах.

Общая численность производителей и владельцев m + n = N зависит от наличия ресурсов. При достаточном количестве ресурсов в закрытом обществе имеет место практически полная занятость, то есть N – полное число людей в обществе, что и предположено в модели. Если ресурсы ограничены, то в производстве могут участвовать не все люди. В этом случае необходимо в модель ввести третью категорию людей, живущих на пособие и не принимающих участие в производстве. Последняя зависит от «владельцев», однако, мы будем полагать, что в этом отношении они уже достигли оптимума и далее изменять его уже не имеет смысла.

Для динамики важно соотношение скоростей изменения переменных x и y. Характерное время изменения накоплений порядка времени потребления продукта (или, что то же, времени его износа); оно порядка τx = r0 /Q0. Уравнение (114) описывает процессы в семье и поэтому не зависит от числа людей N. Уравнение для y описывает установление цены во всем обществе и зависит от соотношения полных объемов производства и потребления. Поэтому правая часть пропорциональна числу N >>1. Это означает, что в большом обществе даже при малой разнице удельного спроса и предложения образуется большой дефицит (или избыток) продукта в целом.

Таким образом, в распоряжении «владельцев» остается параметр h, которым они и могут манипулировать для достижения своих целей (максимизация прибыли, максимизация накоплений и др.)

Цена p в модели не является параметром, а играет роль динамической переменной. Это означает, что назначать цену произвольно «владельцы» фактически не могут (даже «сговорившись», как в монопольном обществе), но должны считаться с наличием платежеспособного спроса и возможностями производства. Тем не менее, они могут влиять на цену косвенно, изменяя параметры, например, уровень зарплаты (h). В определенных условиях это равносильно изменению цен.

Следует отметить, что в силу простоты модели ее параметры носят аггрегированный характер. При непосредственном сравнении их смысла со смыслом величин, характеризующих реальное общество, может оказаться, что параметр модели одновременно отражает величины, являющиеся разнородными и участвующие в разных сферах.

5. Динамика процессов

Диаграмма рисунка 1 не дает ответа на вопрос о поведении системы в нестационарных условиях. Для ответа на этот вопрос удобнее использовать переменные x и y и динамические уравнения (14) и (15).

На рисунке 2 приведен фазовый портрет в случае, когда параметры соответствуют варианту III. Видно, что имеются два устойчивых состояния 1 и 3, состояние 2 неустойчиво. Фазовая плоскость разделена сепаратрисой (жирный пунктир). Значения параметров и основные свойства стационарных состояний приведены на рисунках.

На рисунке 2 в состоянии 1 потребности как «рабочих» так и «владельцев» удовлетворены на низком уровне (Q(rn) = 0,05, Q(rm)=0,3). В состоянии 3 потребности удовлетворены полностью. Поляризация общества (величина D) не велика. Из этого примера следует, что при одинаковых условиях (параметрах модели) можно попасть как в благополучный режим (состояние 3), так и в близкий к кризисному (состояние 1). Результат зависит от начальных условий и от управляющих воздействий на систему на пути ее движения по траектории (последние изображены бледным пунктиром). Управляющие воздействия могут быть как параметрическими (временное изменение параметров) так и силовыми (изменения накоплений и/или цен за счет внешних факторов).

5.1 «Целевые функции владельцев».

При фиксированных параметрах h, b и Fmax эволюция общества под управлением уравнений (14) и (15) происходит автоматически. Участники рынка не влияют на этот процесс, в частности у них отсутствует цель, преследуя которую они могли бы делать выбор среди разных потенциально возможных путей развития общества. В реальности же поведение участников рынка может опираться не только на текущие величины спроса и предложения, учтенные в (14) и (15), но и на ожидания, связанные с будущими величинами прибыли (краткосрочные цели), накоплений (долгосрочные цели) или с чем-то иным. Рассмотрим в связи с этим несколько вариантов реализации целевых функций собственников, анализ которых на качественном уровне возможен в рамках нашей модели.

1. Целевая функция – максимизация прибыли в натуральном выражении (дальновидная стратегия).

В равновесном состоянии прибыль собственников определяется разностью между средствами, полученными от реализации произведенной продукции, и затратами на ее изготовление:

1 = mQ(rm) + nQ(rn) – nPn      (18)

В стационарном состоянии согласно условию dx/dt=0 последние два слагаемые дают нулевой вклад. Поэтому прибыль будет равна расходам собственников на собственное потребление П1 = Q(rm), а ее максимизация соответствует максимизации стационарного значения накоплений rm как функции управляющих параметров.

В стационарном состоянии 1 величину rm можно выразить в виде

028

Для достижения цели необходимо изменять параметры b, и h так, чтобы увеличить q. Накопления «рабочих» в состоянии 1 равны

029

Видно, что они также возрастают с ростом rm, то есть дальновидные интересы «владельцев» и «рабочих» совпадают. Максимальное значение rm в состоянии (1) достигается при q = 0,5. Однако при этом состояние (1) исчезает и общество само устремляется к состоянию (3) и благосостояние всех слоев общества быстро возрастает. Такая бифуркация воспринимается как «экономическое чудо».

В состоянии 3 rm хотя и велико, но Q(rm) ≈ ε∙rm, где величина ε << 1. Поэтому небольшое изменение параметров мало влияет на величину прибыли П1, а приводит в основном к изменению величин издержек в том числе на выплату зарплаты.

2. Целевая функция – максимизация прибыли в денежном выражении (монетаристская стратегия). В этом случае прибыль равна величине прибыли П1, умноженной на цену: П2 = П1y. Из (13) и (18) можно получить выражение

030

С учетом (19) можно показать, что в состоянии 1 максимальная величина П2 достигается при некотором значении rm в интервале 0 < rm < 1/h'. Выражение для этого значения довольно громоздко и мы его здесь не приводим.

В состоянии 3 в приближении Q(rm) ≈ ε∙rm накопления можно записать в виде

031

В этом случае также существует конечная величина rm, максимизирующая величину П2. Ее значение равно единственному действительному корню уравнения rm3 - rm - 2B = 0:

032

Здесь B = nrn/m. Таким образом собственники могут максимизировать величину П2 подбирая параметр b в соответствии с (21). Так как величина rn зависит только от Fmax действия собственников в этом случае не влияют на величину накоплений рабочих.

Следует отметить, что фазовый портрет в случае оптимизированных стационарных состояний ничем не отличается от случаев с неоптимизированными состояниями. Более того на рис. 2 в точке 3 реализуется максимум П2.

3. Целевая функция – социальный комфорт в обществе. Под социальным комфортом общества будем понимать отсутствие дифференциации общества по накоплениям. Будем характеризовать его отношением П3 = rn/rm.

В состоянии 1 в соответствии с (19) имеем

033

Это выражение имеет минимум П3 = 2h при rm = 0,5/h и неограниченно растет при rm стремящемся к 0 и к 1/h. Однако, так как в состоянии 1 rm < 1 и h < 1, минимум и второй предел не реализуются. Оптимальная величина П3 = 1 достигается при выполнении равенства h = q.

В состоянии 3 величина П3 определяется отношением выражений в (21). Так как в этом случае rn не зависит от управляющих параметров h и b, оптимизация целевой функции может быть осуществлена только за счет изменения rm. Из (21) следует, что уменьшении (увеличении) b целевая функция П3 увеличивается (уменьшается), а от параметра h она не зависит. Значение П3=1 достигается при выполнении равенства

034

Таким образом регулируя управляющие параметры собственники могут добиваться реализации экстремума той или иной целевой функции.

Изложенное можно прокомментировать следующим образом. Цель – максимизация прибыли в денежном выражении, представляется более естественной, но менее дальновидной. Если преобладает эта цель, то неблагополучное состояние (1) устойчиво по отношению к вариации параметров, следовательно, общество может пребывать в нем достаточно долго. Поляризация при этом не велика и социальный дискомфорт отсутствует.

Цель – максимизация прибыли в реальном выражении более дальновидная. Для достижения этой цели необходимо увеличивать параметр b, за счет уменьшения h, либо за счет увеличения g. И то, и другое сводится к увеличению затрат на производство. При этом реальные накопления обеих групп растут, но денежные доходы падают. Последнее создает препятствие, хотя и чисто психологическое. При движении к этой цели состояние (1) может стать неустойчивым и тогда общество быстро перейдет в область более благополучного состояния (3). Такой скачок воспринимается как очередное «экономическое чудо», а руководители государства этого периода как «благодетели нации».

5.2 Гистерезисное свойство модели.

Рассмотрим еще одно интересное свойство модели. На рисунке 3а приведена ситуация, при которой остается только одно устойчивое состояние 3. Оно сравнительно благополучно и поляризация не велика (D=6,16). На рисунке 3б приведена противоположная ситуация, когда существует только устойчивое состояние 1. Оба варианта отличаются друг от друга только значением параметра b. Таким образом изменение только этого параметра может в корне изменить состояние общества. Для иллюстрации этого на рисунке 4а показана зависимость rm – одного из показателей общества, от величины b. Подчеркнем, что эта зависимость в нашей модели носит характер гистерезиса. Так, если в обществе, находящемся в состоянии 3 (Рис. 3а, b > 2,5), происходит уменьшение параметра b, то его показатели будут плавно изменяться вплоть до величины b = 2,5 (точка а на Рис. 4а). При дальнейшем уменьшении b устойчивое состояние 3 исчезнет и общество скачком (то есть за время τ) перейдет в состоянии 1 с очень низкими показателями (произойдет кризис или катастрофа, если выражаться на математическом языке). Далее его показатели будут снова плавно изменяться. С другой стороны, если в обществе, вначале находящемся в неблагополучном состоянии 1 (b < 3,6), производить увеличение b, оно будет плавно изменять свои показатели до величины b = 3,6 (точка б на Рис. 4а), где состояние 1 исчезнет, а затем скачком перейдет в благополучное состояние 3. Аналогичное поведение модель демонстрирует и при изменении параметра h, что иллюстрируется рисунком 4б.

Комментируя рисунки 4 а, б на качественном уровне, можно сказать, что уменьшение рентабельности b и переменных затрат h до определенных пределов приводят к скачкообразному переходу от благополучного состояния к неблагополучному. При обратном направлении изменения параметров происходит скачок в обратном направлении. При этом в несколько раз изменяются макроскопические показатели общества.

Иным является поведение показателей общества как функций параметра Fmax (рисунок 4в), изменение которого не влияет на положение состояния 1. Это видно их того, что в уравнение (16), определяющее условия существования состояния 1, этот параметр не входит. В то же время Fmax влияет на состояние 3 и его изменение может приводить к появления (при увеличении) или исчезновению (при уменьшении) этого состояния, однако в данном варианте нашей модели зависимость от параметра Fmax не носит гистерезисного характера. Так, если параметрами модели допускается существование обоих состояний 1 и 3 и общество при этом вначале находится в благополучном состоянии 3, то при снижении уровня производства Fmax до некоторой величины устойчивое состояние 3 исчезнет и произойдет скачкообразный переход в неблагополучное состояние 1. Однако, если двигаться в обратном направлении, увеличивая Fmax, перехода обратно в благополучное состояние не произойдет, так как состояние 1 никогда не исчезнет при изменении только Fmax.

5.3 Влияние денежной эмиссии на состояние общества

До сих пор мы рассматривали влияние параметрического воздействия на систему. Обсудим теперь на качественном уровне возможность силового управляющего воздействия на примере денежной эмиссии. Рассмотрим общество, имеющее два устойчивых состояния 1 и 3 и находящееся в состоянии 1. Поставим перед собой цель: перевести общество в состояние 3. Для этого необходимо произвести действия, при которых начальное состояние общества оказалось бы ниже сепаратрисы в плоскости X-Y. Попробуем добиться этого с помощью денежной эмиссии. Допустим, что количество денег в обществе меняется с М до М', причем М'>М. В соответствии с (1) это означает увеличение размера средних накоплений 035 в W=M'/M раз. Дальнейшая реакция системы зависит от направленности эмиссии, то есть от ее адресности.

Рассмотрим вначале эмиссию, адресованную собственникам, то есть направленную на расширение производства и спроса собственников. В этом случае накопления работников в денежном выражении останутся неизменными Un’=Un, а величина 036 уменьшится в W раз. С другой стороны масштабный фактор цены 037 увеличится во столько же раз. Предположим, что цена p не изменится сразу же вслед за эмиссией, то есть временной фактор αN не велик, и вначале p=p’. Тогда величина y=p/p0 уменьшится во столько же раз, что и x. Это означает, что осуществляя эмиссию по данному сценарию общество будет двигаться от состояния 1 к началу координат по отрезку AO ** (см. рисунок 5). При некоторой величине эмиссии M' общество пересечет сепаратрису и войдет в область, откуда оно, будучи предоставленным самому себе, через некоторое время перейдет в устойчивое стационарное состояние 3.

Рассмотрим теперь эмиссию, адресованную работникам. В этом случае величина их накоплений в денежном выражении увеличится на размер эмиссии, что повлечет за собой увеличение x {Δx = (W–1)/W(1/n–x)} и, соответственно, rn и платежеспособного спроса. В то же время величина y уменьшится в W раз {Δy = –(W–1)/Wy} как и предыдущем случае. Это означает движение общества из состояния 1 вправо и вниз по отрезку AB, составляющему тупой угол с осью OX {Δy/Δx = –(1/n–xА)-1, xА – фиксировано} и пересекающему ось в точке xВ = 1/n. При некоторой величине эмиссии кривая может пересечь сепаратрису и попасть в область, откуда общество уже само перейдет в состояние 3. Однако, поскольку сепаратриса также направлена под тупым углом к оси OX, может оказаться, что пересечения не произойдет или для этого потребуется слишком большая величина M'. Какая именно во многом зависит от наклона сепаратрисы, то есть от величины αN. Во всяком случае она больше, чем в первом варианте эмиссии.

Таким образом наше качественное рассмотрение вариантов эмиссии привело к тривиальному выводу: эмиссию намного выгоднее проводить с целью расширения производства, а не простого увеличения спроса. Разумеется, это рассмотрение носит иллюстративный характер и не претендует на количественное описание, поскольку в реальности в обществе задействовано одновременно много каналов перетекания денег из одной сферы в другую. В то же время пример с эмиссией показывает, что грубо, на качественном уровне наша модель схватывает основные свойства, присущие обществу, находящемуся в состоянии далеком от устойчивого.

Выше показано, что адресная эмиссия в нужный момент и в нужном объеме также может перевести общество из состояния (1) (стагнация) в состояние (3). В рамках модели более целесообразно адресовать эмиссию «владельцам», работающим в реальном секторе (другие сектора в модели пока не рассматривались).

В благополучном состоянии (3) поляризация тоже не велика, хотя и больше, чем в состоянии (1). При учете «размывания» страт, общество становится практически унимодальным, поскольку степень удовлетворения всех групп практически одинакова. В этом случае эмиссия денег также смещает изображающую точку вниз. При этом цены в номинальном исчислении в момент эмиссии сохраняются, но затем возрастают и система возвращается в исходное состояние (но при более высоких номинальных ценах). В результате эффект сводится к реноминации денег.

Эти эффекты эмиссии можно сопоставить с кейнсианской и монетаристской моделями. Строго говоря детальные сопоставления невозможны, поскольку в нашей модели не учтены еще рынки денег и труда, которые в упомянутых концепциях играют важную роль. Тем не менее качественные эффекты сходны. Так переход общества от «стагнации» к развитию за счет достаточно большой эмиссии – типичный для кейнсианских моделей эффект. Эффект роста номинальных цен (номинальной инфляции) в состоянии (3) или при недостаточной эмиссии в состоянии (1) – типичен для моделей монетаристского типа.

Подчеркнем, что эти выводы относятся к закрытому обществу. В экономически открытом обществе ситуация принципиально меняется. Результата зависит от экономического состояния партнера. Если партнер более развит, то появляется возможность продавать свой товар (сырье) именно ему и получать конечный продукт оттуда. Заинтересованность в благополучии «своих» рабочих при этом уже отсутствует.

В целом модель открытого общества заслуживает специального рассмотрения.

Заключение.

Основные результаты моделирования сводятся к следующему:

1. При одних и тех же значениях параметров страна может попасть в одно из двух стационарных состояний, отличающихся уровнем жизни и производительностью. Условно их можно назвать состояниями с высоким и низким уровнем (жизни и/или производительности). Экономическая поляризация D в обоих случаях не велика.

Вопрос о том, в каком состоянии окажется страна, зависит от начальных условий и управляющих воздействий. Таким образом, модель описывает эффект попадания в «институциональную ловушку».

2. Возможен переход из низкопродуктивного состояния в высокопродуктивное. При дальновидной стратегии владельцев (стремлении получить максимум благ, но не денег) общество само переходит в высокопродуктивное состояние. Переход совершается в несколько стадий: на первой происходит медленное накопление оборотных средств (при этом цены медленно падают и накопления владельцев в денежном выражении уменьшаются), затем следует быстрое увеличение производительности и падение цен при росте покупательной способности накоплений у всех членов общества. Внешне это воспринимается как «экономическое чудо».

При недальновидной стратегии владельцев (стремлении получить максимум денег) общество остаётся в низкопродуктивном состоянии и в высокопродуктивное не переходит.

Возможен обратный переход. Так, при недальновидной стратегии рабочих (например, требовании постоянного повышения зарплаты) общество из высокопродуктивного переходит в низкопродуктивное. Переход совершается также в несколько стадий: сперва медленное повышение уровня жизни рабочих, затем резкое его падение во всех слоях общества. Внешне это воспринимается как «кризис».

Переходы носят гистерезисный характер, то есть бифуркационные значения параметров перехода из низкопроуктивного состояние в высокопродуктивное отличаются от таковых для обратного перехода.

3. Рассмотрен переход из низкопродуктивного состояния в высокопродуктивное при адресной эмиссии денег (увеличении параметра М).

Показано, что результат зависит от величины эмиссии. Имеется критическое значение ΔМcr, такое, что при меньшей эмиссии общество остается в прежнем состоянии, но цены повышаются в меру эмиссии (происходит ценовая инфляция). Этот результат соответствует концепции монетаризма [2]. При эмиссии большей, чем ΔМcr производство расширяется, цены падают и общество переходит в высокопродуктивное состояние. Этот результат соответствует концепции Кейнса [3].

Таким образом, автономная система (страна) при дальновидной стратегии как владельцев, так и рабочих, может сама перейти в высокопродуктивное состояние и работать в нём устойчиво.

Смысл такого поведения системы прост: в автономном обществе владельцы заинтересованы в повышении платежеспособного спроса и поэтому их дальновидная стратегия приводит к положительному результату и для рабочих.

В экономически открытом обществе владельцы ориентируются на внешний рынок. Платежеспособный рынок внутри страны для них менее важен и поэтому их дальновидная стратегия существенно иная.

Страна, находящаяся в низкопродуктивном состоянии, рискует остаться в нем навсегда, если степень экономической открытости при этом будет слишком велика, а переход к открытой экономике слишком поспешным. Страна, находящаяся в высокопродуктивном состоянии, может и должна быть экономически открытой, поскольку в этом случае она займет на мировом рынке достойное положение.

В последующих работах мы планируем дополнить рассмотрение динамики общества внешними связями.

Авторы выражают благодарность В.А. Волконскому и И.Г. Поспелову за участие в обсуждении данной работы и ценные замечания.

Работа была выполнена при поддержке РФФИ.

Рисунки

Рисунок 1
 038
Решения бифуркационного уравнения Q(rm) = q∙rm (при rm < rcr) и Q(rm) = n/m∙Fmax(1-b-1) (при rm > rcr). Римскими цифрами обозначены три топологически различных варианта решения. Точки rm,i (I = 1,2 и 3) определяют стационарные значения динамической переменной rm. Величины rcr определяют значения rm, при которых достигается максимальный объем производства.
Рисунок 2
 039
Типичный фазовый портрет решений уравнений (14) и (15) в координатах X-Y. Жирные линии – изоклины dx/dt = 0 и dy/dt = 0. Точки пересечения изоклин определяют стационарные состояния (1 и 3 –устойчивые, 2 – неустойчивое). Тонкие линии – траектории эволюции общества. Каждой точке траектории соответствует определенное значение времени. Эволюция общества начинается с краев рисунка и заканчивается в точках стационарного состояния. Штриховая линия – сепаратриса. Значения параметров: h = 0,15; b = 2,8; Fmax = 1; αN = 2; ε = 0,1.
Рисунок 3
040

a. Фазовый портрет общества с единственным устойчивым состоянием типа 3. Значения параметров: h = 0,2; b = 2,55; Fmax = 1; αN = 2; ε = 0,1.

б. Фазовый портрет общества с единственным устойчивым состоянием типа 1. Значения параметров: h = 0,12; b = 2,1; Fmax =1; αN = 2; ε = 0,1.

Рисунок 4
 041
Стационарные величины динамической переменной rm,i (i=1, 3) для состояний 1 и 3 как функции управляющих параметров b (a), h (б) и Fmax (в). Штриховыми линиями показаны переходы между состояниями 1 и 2 при изменении параметров до критического значения.
Рисунок 5
042 
Результат внешнего воздействия в виде эмиссии денег. Отрезок АО показывает результат эмиссии, адресованной "владельцам". Отрезок АВ показывает результат эмиссии, адресованной работникам.

Литература

1. М. Блауг, «Экономическая мысль в ретроспективе», изд-во «Дело», М., 1994.

2. M. Fridman, «TheQuanttity Theory of Money: Restatment», In: M. Fridman (Ed.), Stadies in Quantity Theory of Money, Chicago, The University of Chicago Press, 1956; «Quаntity Theory», In International Encyclopedia of the social Servieses, Vol. 10, 1968.

3. Дж. М. Кейнс, «Избранные произведения», изд-во «Экономика», М., 1993.

4. Линдон Ларуш, «Физическая экономика», изд-во «Научная книга», М., 1997.

5. Р. Аллен, «Математическая экономия», изд-во «Иностранной литературы», М., 1963.

6. В. И. Маевский, «Введение в эволюционную макроэкономику», изд-во «Япония сегодня», М., 1997.

7. В. В. Лебедев, «Математическое моделирование социально-экономических процессов», изд-во «Изограф», М., 1997.

8. В. М. Полтерович, «Институциональные ловушки и экономические реформы», Российская экономическая школа, Working paper #98/004, М., 1998.

9. Дж. Робинсон, «Экономическая теория несовершенной конкуренции», изд-во «Прогресс», М., 1986. Дж. Р. Хикс, «Стоимость и капитал», изд-во «Прогресс», М., 1988.

10. Д. С. Чернавский, А. В. Щербаков, Н. И. Старков, Б. А. Суслаков, «Ценообразование при максимальной прибыли», Экономич. и математ. методы, 1998, т. 34, вып. 2, стр. 44–54. Д. С. Чернавский, Б. А. Суслаков, О. Д. Чернавская, Г. Г. Пирогов, Н. И. Старков, «О социально-экономической структуре общества», Законодательство и экономика, 1995, вып. 7/8, стр. 8-14. Д. С. Чернавский, Г. Г. Пирогов, О. Д. Чернавская, А. В. Щербаков, Б. А. Суслаков, «Динамика экономической структуры общества», Прикладная нелинейная динамика, 1996, т. 4, № 3, стр. 67–75.


* Кстати, это допущение не так уж далеко от реальной ситуации в современной России.

** При изменении М происходит изменение фазового портрета общества, однако в силу масштабной инвариантности можно, оставив фазовую картину прежней, свести изменение М к изменению положения общества на плоскости X-Y.


Поиск